17 jednadžbi koje su promijenile svijet

Matematika je posvuda, ona je oblikovala naše razumijevanje svijeta oko nas. U 2013. matematičar i pisac Ian Stewart je izdao knjigu pod nazivom „17 jednadžbi koje su promijenile svijet“, da bi Larry Philips na svom Twitter računu prikupio sve jednadžbe i predstavio ih na jednoj slici.

Kako same formule mnogima ne govore puno toga, a malo je onih koji će pročitati knjigu Ian Stewarta (koja još nije prevedena na hrvatski, srpski ili bosanski jezik), donosimo  kratke opise i osnovno razumijevanje svake od jednadžbi.

1. Pitagorin teorem

Ovaj teorem je osnova za naše razumijevanje geometrije. On opisuje veze između strana pravokutnog trokuta: kvadriraj dužine kraćih strane (a²,b²), zbroji izračunate vrijednosti (a²+b²),  i dobit ćeš kvadriranu dužinu duge strane (c²)

Ova veza donekle razdvaja normalnu, ravnu, Euklidovu geometriju od zakrivljene. Na primjer, pravokutni trokut nacrtan na površini sfere ne mora slijediti Pitagorin teorem. 

2. Logaritam

Inverzna funkcija eksponencijalne funkcije naziva se logaritamska funkcija. Logaritam specifične baze govori nam što moramo napraviti bazi da bi dobili broj. Na primjer, baza 10 logaritma 1 je log(1)=0 budući da 1=10⁰; log(10)=1, budući da 10=10¹; log(100)=2, budući da 100=10².

Grafički prikaz jednadžbe log(ab) = log(a) + log(b), pokazuje jednu od najkorisnijih primjena logaritama: oni množenje pretvaraju u zbrajanje.

Do razvoja digitalnih računala, ovo je bio uobičajeni način za brzo množenje velikih brojeva. Primjena logaritama ubrzala je izračune u fizici, astronomiji i inženjeringu.

3. Infinitezimalni račun

Formula sa slike predstavlja derivacije koje su dio infinitezimalnog računa (uz funkcije, integrale, limes funkcije i granične vrijednosti). Derivacije mjere stopu po kojoj se količine mijenjaju. Na primjer, možemo misliti o frekvenciji, ili brzini – ukoliko hodate 5 km/h onda ćete u roku jednog sata prijeći 5 km.

Naravno, mnoge znanosti zanima kako se stvari mijenjaju, a derivacije i integrali nalaze se u središtu znanstvenog razumijevanja promjene.

4. Zakon gravitacije

Newtonov zakon gravitacije opisuje silu gravitacije između dva objekta, F, uz gravitacijsku konstantu, G, mase dva objekta, m₁ i m₂, i udaljenost između objekata, r. Newtonov zakon je značajan dio znanstvene povijesti – on objašnjava, gotovo savršeno, zašto se planeti kreću na određeni način. Također je značajna jedinstvena primjena ovog zakona – ovo nije samo način na koji gravitacija djeluje na Zemlju ili na naš planetarni sustav, Newtonovi zakoni primjenjuju se diljem svemira.

Newtonovi gravitacijski zakoni bili su na snazi 200 godine, sve dok ih nije zamijenila Einsteinova opća teorija relativnosti.

5. Korijen iz -1

Matematičari su uvijek proširivali svoja shvaćanja brojeva, počevši od prirodnih brojeva, preko negativnih brojeva, razlomaka, do realnih brojeva. Korijen iz -1, koji se uobičajeno zapisuje kao i, završava ovaj proces kao kompleksan broj.

Matematički, kompleksni brojevi su krajnje elegantni. Algebra radi savršeno, baš onako kako želimo – svaka jednadžba ima rješenje kao kompleksan broj, dok to svojstvo ne vrijedi za realne brojeve: x² + 4 = 0 nema rješenje kao realan broj, ali ima kao kompleksan – korijen iz -4, ili 2i.  Infinitezimalni račun može biti proširen na kompleksne brojeve, te ukoliko to napravimo pronaći ćemo nevjerojatnu simetriju tih brojeva.

6. Eulerova formula za poliedre

Poliedri su trodimenzionalne verzije poligona. Kutovi poliedra se nazivaju vrhovi (V), linije koje spajaju vrhove nazivaju se bridovi (B ili na eng. edges E), a poligoni koje pokrivaju linije su strane (S ili na eng. faces F).

Kocka ima 8 vrhova, 12 bridova i 6 strana. Ukoliko zbrojimo vrhove i strane, te oduzmemo bridove dobit ćemo: 8+6-12=2.

Eulerova formula govori, sve dok se radi o normalnom poliedru, ukoliko zbrojimo vrhove i strane, te od njih oduzmemo bridove – uvijek ćemo dobiti 2. Ovo vrijedi bez obzira ima li naš poliedar 4,8,12,20 ili bilo koji drugi broj strana.  

7. Normalna distribucija

Normalna distribucija vjerojatnosti, poznata prema prepoznatljivom zvonolikom obliku, sveprisutna je u području statistike.

Normalna krivulja koristi se u fizici, biologiji i društvenim znanostima kako bi se opisala različita svojstva. Jedan od razloga zašto se normalna distribucija pojavljuje tako često je taj što ona opisuje ponašanje velike grupe nezavisnih procesa.

8. Valna jednadžba

Riječ je o diferencijalnoj jednadžbi, koja opisuje ponašanje vala – vibracija na žici gitare, mreškanje na jezeru nakon što u njega bacimo kamen ili svjetlo koje dolazi iz žarulje.

Valna jednadžba jedna je od ranih diferencijalnih jednadžbi i tehnika koja je, između ostalog, razvijena kako bi razumjeli druge diferencijalne jednadžbe.

9. Fourierova transformacija

Ona je osnova našeg razumijevanja kompleksnih valnih struktura, kao što je ljudski govor. Uz pomoć Fourierove transformacije možemo kompliciranu valnu funkciju, kao što je audio zapis govora, razbiti na brojne jednostavne valove i time simplificirati daljnju analizu.

Forurierova transformacija ključna je kod procesuiranja signala i kompresije podataka.

10. Navier-Stokesova jednadžba

Kao i valna jednadžba, ovo je diferencijalna jednadžba. Navier-Stokesova jednadžba opisuje kretanje fluidnih supstanci – kretanje vode kroz pipu, kretanje zraka iznad krila zrakoplova ili kretanje dima iz cigare. I dok imamo približna rješenja Navier-Stokesovih jednadžbi koja dopuštaju računalima da simuliraju kretanje fluida vrlo dobro, ostaje otvoreno pitanje (s milijunskom nagradom) da li je moguće napraviti matematički točno rješenje jednadžbe.  

11. Maxwellove jednadžbe

Najutjecajniji uvid u jednadžbu prostiranja dolazi od Maxwellovih izračuna elektromagnetizma. Godine 1820., većina ljudi je osvjetljivala svoje domove, pomoću svijeća i svjetiljki.Pisma su se slala putem kočija. No, u roku stoljeća, ulice i domovi su električki osvjetljene, telegrafom se šalju poruke na drugi kraj svijeta, a i komunikacija između ljudi na različitim kontinentima postaje moguća.

Za ovo su zaslužna istraživanja dva znanstvenika. Michael Faradey oko 1830. godine utvrđuje osnovne fizikalne zakonitosti u elektromagnetizmu. Tri desetljeća poslije James Clerk Maxwell počinje s formiranjem matematičkih osnova, koja su se zasnivala na Faradeyovim pokusima i teorijskim radovima.

Do 1864. Maxwell je imao četiri jednadžbe koje opisuju osnovne interakcije između električnog i magnetskog polja. Prve dvije su govorile o konzervativnosti oba polja, dok druge dvije tvrde kako se promjenama u električnom polju stvara magnetno polje, i obrnuto.

Potomci Mawellovi, poput Nikole Tesle, Marconija i drugih, ostvarili su zamisao koja prati cijeli arsenal modernih komunikacija, od radija i televizora, preko radara i mikrovalova za mobitele. Sve je to nastalo kao posljedica četiri Maxwellove jednadžbe i nešto dodatnih pokusa i istraživanja.  

12. Drugi zakon termodinamike

Govori nam kako, u zatvorenom sustavu, entropija je uvijek u stanju mirovanja ili povećanja. Termodinamička entropija je, ugrubo govoreći, mjerenja nereda unutar sustav. Sustav koji kreće iz uređenog stanja – recimo, topli predjel do hladnoga –težiti će izjednačavanju. To znači da će se toplina kretati iz toplog predjela do hladnog, sve dok ne dođe do ravnomjerne raspodjele.

Drugi zakon termodinamike jedan je od rijetkih slučajeva u fizici gdje vrijeme ima utjecaj. Većina fizikalnih procesa je reverzibilna, ali drugi zakon termodinamike ide samo u jednom smjeru. Ukoliko stavimo ledenu kocku u vruću šalicu kave, uvijek će doći do otapanja ledene kocke, nikada se kava neće zalediti.

13. Relativnost

Einstein je radikalno izmijenio tok fizike sa svojom specijalnom i općom teorijom relativnosti.  Klasična jednadžba E=mc² govori nam kako su energija i masa ekvivalentne. Specijalna teorija relativnosti govori nam kako je brzina svjetlosti univerzalni limit brzine i kako je tok vremena različit za ljude koji se kreću različitim brzinama.

Opća teorija relativnosti opisuje gravitaciju kao zakrivljivanje i savijanje prostora i vremena, te predstavlja prvu veliku promjenu u našem razumijevanju gravitacije još od Newtonovih zakona. Opća teorija relativnosti je osnova našeg razumijevanja porijekla, strukture i sudbine svemira.

14. Schrodingerova jednadžba

Ovo je glavna jednadžba u kvantnoj matematici. Kako opća teorija relativnosti objašnjava naš svemir pri najvećim razmjerima, ova jednadžba upravlja ponašanjem atoma i subatomskih čestica.

Moderna kvantna mehanika i teorija relativnosti su dvije najuspješnije znanstvene teorije u povijesti –  sva eksperimentalna opažanja slažu se u potpunosti s predviđanjima.  Kvantna mehanika je također potrebna za većinu modernih tehnologija – nuklearnu energiju, poluvodička računala, lasere itd.

15. Teorija informacija

Ova jednadžba potječe od Claude Shannona koji je 1948. godine izdao članak pod nazivom A Mathematical Theory of Communications. Kao i termodinamička entropija i ovo je mjera nereda.  U ovom slučaju, mjeri se informacijski sastav poruke – npr. knjiga, JPEG slika poslana putem Interneta. Shannonova entropija poruke predstavlja donju granicu kompresije koju možemo primijeniti da pritom ne izgubimo sadržaj.

Rezultati Shannonove entropije ključni su za našu komunikaciju putem mreže.

16. Teorija kaosa

Opisuje odvijanje procesa tokom vremena (x_t+1). Razina količine x u sljedećem vremenskom periodu je dana formulom na desnoj strani, te zavisi o trenutnoj razini x_, (x_t). Za određene vrijednosti konstante (k) Mayeva logistička mapa pokazuje kaotično ponašanje: ako započnemo na određenoj vrijednosti x, proces će se razviti u jednom smjeru, ali ako krenemo s nekom drugom početnom veličinom (čak i ako je ta veličina veoma bliska prethodnoj) proces će se razviti u potpuno drugom smjeru.

Ovakav kaos vidimo u mnogim područjima. Vrijeme je klasičan primjer – mala promjena u atmosferskim prilikama jednoga dana može dovesti do potpuno druge vremenske prognoze za nekoliko dana.

17. Black-Scholesova jednadžba

Još jedna diferencijalna jednadžba. Black-Scholesova jednadžba opisuje kako financijski stručnjaci i trgovci pronalaze cijene za derivate. Derivati su financijski proizvodi bazirani na temeljnoj imovini -kao što je dionica –  i velik su dio modernog financijskog sustava.

Black-Scholesova jednadžba omogućuje izračunavanje vrijednosti financijskih proizvoda baziranih na svojstvima derivata i temeljne imovine.

Izvori/dodatno čitanje:

Andy Kiersz, The 17 Equations That Changed The Course Of History, Business Insider, 2014.

I.B., Ovih 17 jednadžbi je promijenilo svijet, Srednja.hr, 2014.