Jezik kozmosa (1. dio) – Lorentzove transformacije

“Matematika, gledate li je kako treba, ne sadržava samo istinu, već i uzvišenu ljepotu – ljepotu hladnu i strogu, poput one koju imaju kipovi.” Bertrand Russell

Ako ste, prema starosnoj dobi, prosječni čitatelj našeg portala vjerojatno ste već prošli svu matematičku naobrazbu. Matematikom su vas davili čitav život. Završili ste osnovnu školu, da bi se u srednjoj pitali zašto učite nešto što nikada nećete koristiti u životu. Logaritmi, integrali, derivacije čine nam se previše apstraktnim da bi od njih imali ikakvu korist i kunete se da je jedini smisao silnih jednadžbi mučenje mladih mozgova koji su ionako preokupirani s ostalim predmetima da bi išta lijepo vidjeli u matematici.

A opet, matematika je lijepa. Njena praktične primjenjivost u bilo kojoj znanstvenoj grani čini ju istinskim jezikom znanosti. Od prirodnih znanosti do sociologije, od modeliranja ekoloških katastrofa i širenja bolesti do razumijevanja građe našeg mozga – matematika je svuda oko nas.

Teško da ikada možemo preuveličati njenu ulogu. Neki od najvećih mislilaca i matematičara daju joj božanski značaj. Srinivasa Ramanujan tako govori da “jednadžba ne znači ništa ako ne izražava misao Božju“, Carl Friedrich Gauss tvrdi da teoreme dokazuje “ne teškim trudom, već takorekući po milosti Božjoj“, a Friedrich von Hardenberg zaključuje kako je čista matematika ustvari religija. Pojedini znanstvenici idu toliko daleko da tvrde kako se Bogovi igraju brojevima i da smo svi mi manifestacija tih igara.

Ono što danas sa sigurnošću možemo tvrditi je to da matematika ide korak ispred eksperimenata. Matematičke teorije predvidjele su pojave koje će biti potvrđene tek godinama kasnije. Maxwellove su jednadžbe, na primjer, predvidjele radiovalove. Einsteinove su jednadžbe polja ukazivale da bi gravitacija mogla savijati svjetlost te da se svemir širi. Fizičar Paul Dirac jednom je izjavio da nam apstraktna matematika koju danas proučavamo pruža blijesak fizike u budućnosti. Zapravo, njegove su jednadžbe predvidjele postojanje antimaterije, koja je naknadno otkrivena.

MATEMATIČKI KOZMOS

Možemo li uopće razumjeti znanstvena dostignuća i naš kozmos bez poznavanja matematike? Debra Elmegreen iz Američeke astonomske udruge govori kako uživanje u astronomiji ne zahtjeva poznavanje matematike koja se krije u pozadini, ali za istraživanja astronomskih objekata nužno je potrebna fizika koja uključuje matematiku.

Drugi astronomi slažu se s njenim zaključcima, Daniel Kelson sa Carnegie istraživačkog instituta tako priznaje: “Kao astronom, matematika je sve što ja radim. Cijelo vrijeme. Ne 37 posto, ne 83 posto, ne čak ni 99,99%. 100 posto.”

Nadam se da ste do sada stekli dojam o važnosti jednadžbi u otkrivanju kozmosa, o njihovoj ulozi u astronomiji i opisivanju pojava koje nas okružuju. Kako se ne bi zadržali na čistom spominjanju matematičke ljepote, kroz niz članaka pokušat ćemo vam predstaviti neke od jednadžbi koje opisuju naš svijet. Spremni?

(Btw. Ne brinite, neće biti nikakve složene matematike – jednadžbe svatko s osnovnim matematičkim obrazovanjem može razumjeti)

LORENTZOVE TRANSFORMACIJE I SPECIJALNA TEORIJA RELATIVNOSTI

Nizozemski fizičar Hendrik Lorentz otkrio je matematičke transformacije koje je Albert Einstein kasnije koristio kako bi opisao svoju specijalnu teoriju relativnosti. Zbog doprinosa Lorentzovih jednadžbi, ono što danas zovemo ‘Einsteinova teorija‘ originalno je nazvana ‘Lorentz-Einsteinova teorija‘.

Smisao ove jednostavne jednadžbe je opisati dio specijalne relativnosti – teorije Alberta Einsteina koja opisuje kako se svemir ponaša kada se objekt kreće – nazvan dilatacija vremena. Einstein je otkrio kako vrijeme sporije prolazi ako brže putujemo. Lorentzova tranformacija otkriva nam kako vrijeme protječe ukoliko se krećemo određenom brzinom.

Pokušajmo objasniti ovu jednadžbu. Recimo da idete na put. Prvo moramo odrediti t, koji u našem slučaju predstavlja vrijeme koje je proteklo za osobe koje su ostale kod kuće i nisu bile u nikakvom kretanju. Učinit ćemo kalkulaciju jednostavnom i reći ćemo kako je put trajao jednu godinu, dakle t je jednostavno 1.

Nakon toga, moramo pomnožiti t s ostatkom jednadžbe Hendrika Lorentza. U ostatku jednadžbe v predstavlja putnikovu (vašu) brzinu, a c je brzina svjetlosti. Kao što vidite, sve se nalazi pod korijenom i ovu jednadžbu moguće je riješiti uz pomoć gotovo bilo kojeg kalkulatora.

Možete ubaciti bilo koju brzinu pod v i jednadžba će funkcionirati. No, prije toga pogledajmo što će se dogoditi ukoliko putujemo brzinom svjetlosti. U tom slučaju v=c, odnosno v=c=299,792 km/h). Znači, formula nam govori da od 1 oduzmemo 1 i potom korijenujemo dobiveni izraz. Budući da je korijen iz 0 jednak 0 gotovi smo s računanjem. Jednadžba nam govori da ukoliko putujemo brzinom svjetlosti – vrijeme staje!

Pokušajmo sada uzeti neku drugu brzinu. Recimo da se krećete dvostruko brže od metka ispaljenog iz puške (1,6 km/s) i tim tempom putujete godinu dana. Ako ubacite nove podatke i riješite jednadžbu iznenadit ćete se. Ukoliko putujete pri tom brzinom, vrijeme koje je kod vas proteklo je jedna godina (dobro, jedna godina minus nekoliko mikro sekundi), što je identično vremenu koje je proteklo kod vašeg prijatelja koji je ostao kod kuće.

Konstantno kretanje brzinom metka presporo je da bi izmijenilo vrijeme putovanja na bilo kakav značajan način.

Očigledno, brzine između naša dva ekstrema uzrokuju određeni stupanj usporavanja vremena. Ukoliko se poigrate s brzinama uviđate kako se vrijeme znatnije mijenja tek kada dođete do vrlo velikih brzina. Ukoliko putujemo 99 postotnom brzinom svjetlosti (296,795 km/h) vrijeme napreduje 0,14 puta u odnosu na osobe koje miruju. Drugim riječima, dok vama prođe jedan dan njima prođe čitav tjedan. Veoma dobra formula protiv starenja.

Druga verzija ove formule pokazuje nam kako se udaljenost smanjuje ukoliko se krećemo sve brže. Sve što morate učiniti je da t zamijenite sa d.

Ukoliko veoma brzo putujete prema Alpha Centauri (nama najbližoj zvijezdi) udaljenost između Zemlje i zvijezde se smanjuje!

Lorentzova transformacija govori nam kako kozmos nema jednu ultimativnu veličinu. Putujte 99.9999999 posto od brzine svjetlosti i jednadžba će vam reći kako je naš vidljivi svemir sada 22,198 puta manji. Centar galaksije u tom bi slučaju bio udaljene nešto više od jedne svjetlosne godine. Ukoliko bi išli brzinom svjetlosti, da vidite kako je biti foton, ne bi bilo nikakve udaljenosti između vas i najudaljenijih krajeva kozmosa.

U sljedećem nastavku govorimo o prvom i drugom Keplerovom zakonu. Podijelite sa svojim prijateljima ovaj članak. Znanje se množi dijeljenjem. 😉

Izvori/dodatno čitanje:

Jurica Palijan, Lorentzove transformacije, fizika.org

Željko Antunović, Specijalna teorija relativnosti, Prirodoslovno matematički fakultet u Splitu

Clifford A. Pickover, Strast za matematikom, Zagreb, 2012.

Astronomy, How Math Drives the Universe, 2013.