Jezik kozmosa (2. dio) – Eulerov identitet i zlatni rez
Jezik kozmosa (2. dio) – Eulerov identitet i zlatni rez
Ukoliko ste pratili prvi dio serije članaka ‘Jezik kozmosa’ zasigurno ste vidjeli informaciju kako će u drugom dijelu biti riječi o Keplerovim zakonima. Ipak, budući da su pravila tu da se prekrše i budući da je Physic World napravio ovu lijepu info-grafiku, u drugom dijelu biti će riječi o Eulerovom identitetu i zlatnom rezu.
Nakon Lorentzovih transformacija tako ćemo se nakratko vratiti na Zemlju prije ponovnih uzleta u svemir uz Keplera i Newtona.
EULEROV IDENTITET
“Najznačajnija formula u matematici” Richard Feynman
Tzv. Božja formula. Ta je formula jedna od najdubljih i najzagonetnijih formula poznatih ljudima, a glasi:
Neki ljudi vjeruju da je ova jezgrovita formula siguran dokaz postojanja Stvoritelja. Drugi su 1 += 0 prozvali “božjom formulom” Edward Kasner i James Newman, u knjizi Mathematics and the Imagination, kažu: “Jedino možemo nanovo tumačiti tu jednadžbu i neprestance propitivati njezine implikacije. Čini se da ona jednako privlači mistike, znanstvenike i matematičare.”
Ta formula Leonharda Eulera (1707 -1783), matematičara iz Švicarske koji je posljednjih sedamnaest godina svoga života bio popuno slijep. Zanimljivo, to ga nije spriječilo da tijekom tog vremena načini gotovo polovicu ukupnog životnog djela. Ova činjenica je još impresivnija ako znamo da je on najplodniji matematičar u povijesti sa više od 8000 objavljenih radova. Uz to, odgovoran je za našu uobičajenu, današnju uporabu mnogih poznatih matematičkih notacija – na primjer, f(x) za funkciju, e za bazu prirodnih logaritama, i za drugi korijen od -1, π za pi, ∑ za zbroj.
Kod Eulerova identiteta on ujedinjuje pet najznačajnijih matematičkih simbola: 1,0, π, e, i i (drugi korijen od —1). To se objedinjenje smatralo mističkim jedinstvom, koje sadržava predstavnike svih grana matematičkog stabla: aritmetiku predstavljaju 0 i 1, algebru simbol i, geometriju π, a analizu transcendentni broj e.
Harvardski je matematičar Benjamin Pierce o toj formuli rekao: “Zasigurno je ispravna, apsolutno je ¡paradoksalna, ne možemo je razumjeti i ne znamo što znači, ali smo je dokazali, i zato znamo da mora biti istinita.”
[su_spoiler title=”Matematički dokaz formule (za one koji žele znati više)” icon=”plus-square-1″]
Počinjemo s formulom za e izraženoj kao beskonačni niz. Iracionalni broj e približno je jednak 2,71818, a do sada je određeno oko dvije milijarde decimalnih brojeva e.
Osim toga, dokazano je kako vrijede i dolje napisane formule koje možete provjeriti kalkulatorom.
Uočite sličnosti među formulama. Zamjenjujemo x s ix te dobivamo:
Ako uzmemo u obzir da je i2=-1, i3=-i itd., dobijemo:
Ukoliko izraze bez i zapišemo u brojnik – dobijemo izraz za cos(x). Nadalje, vidimo kako je ostatak izraza (koji ima i u brojniku) jednak i sin (x).
Iz toga vrijedi:
Ovaj izraz možemo zapisati i kao:
Uključivanjem novog iracionalnog broja (π) dobijemo poznati Eulerov identitet.
[/su_spoiler]
ZLATNI PRAVOKUTNIK
“Geometrija posjeduje dva velika blaga: jedno je Pitagorin poučak, a drugo zlatni rez. Prvo se može usporediti sa čistim zlatom, a drugo s draguljem neprocjenjive vrijednosti.” Johannes Kepler
Ako su duljine stranica pravokutnika u zlatnom rezu, onda je taj pravokutnik zlatni pravokutnik. Zlatni se pravokutnik može podijeliti na kvadrat i zlatni pravokutnik. Zatim možemo izrezati manji zlatni pravokutnik na manji kvadrat i zlatni pravokutnik.
Taj postupaj možemo nastaviti beskonačno, dobivajući sve manje i manje zlatne pravokutnike. Povučete li dijagonalu od lijevoga gornjeg vrha početnog pravokutnika do njegova desnoga donjeg vrha, zatim od lijevoga donjeg vrha zlatnog pravokutnika – potomka do njegova gornjega desnog vrha, presjecište vam pokazuje točku kojoj teže svi zlatni pravokutnici. I duljine dijagonala međusobno su u zlatnom omjeru.
U počast raznim “božanskim” svojstvima pripisanima zlatnom rezu tijekom stoljeća, nazivam točku kojoj teže zlatni pravokutnici “Božje oko“. Sliku možemo povećavati, ali nikada nećemo doći do Oka uz konačna povećanja.
Zlatni je pravokutnik jedini pravokutnik iz kojega se može izrezati kvadrat tako da ostatak uvijek bude sličan izvornom pravokutniku. Povežemo li im vrhove, dobit ćemo logaritamsku spiralu koja “obuhvaća” Božje oko. Logaritamske su spirale posvuda – školjke, rogovi, ušne školjke – gdjegod prirodi zatreba ekonomično i pravilno popunjavanje prostora. Spirala je jaka i za nju je potrebno najmanje materijala. Pri širenju joj se mijenja veličina, ali nikada oblik.
Izvori/dodatno čitanje:
Clifford A. Pickover, Strast za matematikom, Zagreb, 2012.
Jamie York, A Proof of Euler’s Formula, jamieyorkpress.com, 2012.
Tihana Strmečki, Matematičke konstante, Tehničko veleučilište u Zagrebu, 2014.
Nova Akropola, Zlatni rez, nova-akropola.hr, 2014.
