Jezik kozmosa (3.dio) – Keplerovi zakoni

Jezik kozmosa (3.dio) – Keplerovi zakoni

“Mjerih nebesa, sada sjene mjerim. Um mi visinama težaše, tijelo na zemlji prikovano osta.” Johannes Kepler

Ukoliko kojim slučajem do sada niste pročitali prva dva dijela to možete učiniti ovdje (prvi dio) i ovdje (drugi). Da podsjetimo, u seriji članak “Jezik kozmosa” objašnjavamo neke od najznačajnijih jednadžbi i pokušavamo ponuditi odgovor na pitanje – “Je li naš svemir u potpunosti sastavljen od matematike?”

Današnju priču započeti ćemo događajem koji se zbio prije više od 2500 godina. Legenda kaže kako je Pitagora (582. – 496. pr. Kr.) nakon otkrića tzv. Pitagorinog poučka (kvadrat nad hipotenuzom pravokutnog trokuta jednak je zbroju kvadrata nad dvije katete; a²+b²=c²) bio uvjeren kako je spoznao jednu od najvećih istina kozmosa. Za njega, to je bio dokaz utkanosti matematike u čitav svijet. Kako bi Bogovima iskazao svoju zahvalnost što je upravo on otkrio važnu tajnu kozmos, Pitagora je navodno dao zaklati 100 volova.

Mnogi Pitagorejci dijelili su njegovu zainteresiranost za geometrijom. Zainteresiranost nekih od prvih matematičara prvenstveno je privlačio krug. Naposljetku, Mjesec i Sunce izgledaju poput savršene kružnice, a i zvijezde se naočigled kreću savršenom kružnom putanjom.

Ovakvo razumijevanje zadržati će se do početka 17. stoljeća kada Johannes Kepler (1571.-1630.) dokazuje kako putanje planeta i mjeseca nisu savršeno kružnog oblika, oni se nedvojbeno gibaju po elipsama.

Prema Keplerovom prvom zakonu planeti se kreću kružnicama pri čemu je Sunce jedan fokus (ili žarište) dok je drugi fokus bilo koji prazni prostor. Dakle, iako mnoge planetarne orbite izgledaju kao kružnica, one zapravo imaju određeni ekscentricitet (mjera koliko orbita odstupa od savršene kružnice). Ekscentricitet nula znači da je orbita savršena kružnica, što je veći iznos ekscentriciteta (e) to je produženiji put planeta oko zvijezde.

e=c/a

Iz formule je vidljivo kako je ekscentricitet rezultat podjele udaljenosti između centra elipse i jednog fokusa (c) te velike poluosi (a).

Venera ima najzaobljeniju orbitu u našem sustava s ekscentricitetom od 0.007. S druge strane, Merkurova orbita ima najveći ekscentricitet od 0.20.

Svojim drugim zakonom Kepler je otkrio kako radijus-vektor Sunce-planet opisuje u jednakim vremenskim razmacima jednake površine. U kružnoj orbiti (slika prvi primjer) planet proputuje jednaku udaljenost i opisuje jednaku površinu u određenom vremenskom razdoblju.

Drugi primjer sa slike je fiktivni scenarijo u kojem planet putuje brže ako je udaljeniji od Sunca. U stvarnosti, što je planet bliže Suncu – on se kreće brže. To omogućava liniji planet-zvijezda da obuhvati jednaku količinu prostora bez obzira gdje se ona nalazi.

Naposljetku, Kepler je svojim trećim zakonom uvidio kako vrijedi:

a³/T²=k

Budući da je k isti broj za sve planete (ako se za jedinicu udaljenosti uzme jedna astronomska jedinica, a za jedinicu vremena jedna godina) vrijedi:

a³=T²

p – vrijeme obilaženja planeta oko Sunca (period mjeren u godinama)

T – udaljenost planeta od Sunca, mjereno u astronomskim jedinicama (jedna astronomska jedinica je udaljenost između Zemlje i Sunca. )

Treći ili harmonijski zakon govori da se kvadrati ophodnih vremena planeta oko Sunca odnose kao treće potencije njihovih prosječnih udaljenosti od Sunce; što je, naime, planet udaljeniji to se i sporije kreće.

Uzmimo za primjer Jupiter. On napravi orbitu za 11.86 godina.

11.86²=140.6

S druge strane, udaljenost od Sunca do Jupitera je 5,2 astronomskih jedinica.

5.2³ = 5.2 × 5.2 × 5.2=140.6

Poput magije, ukoliko znamo vrijeme obilaženja planeta oko Sunca, uz pomoć osnovne matematike možemo izračunat njegovu udaljenost od Sunca. Vrijedi i obrnuto.